Народився 3 листопада 1955 р. у с. Кропивна Золотоніського району Черкаської області.У 1978 р. закінчив ветеринарний факультет Харківського зооветеринарного інституту за фахом ветеринарний лікар. Трудову діяльність розпочав у племптахорадгоспі-репродукторі «Горківський» Богодухівського району Харківської області на посаді старшого ветеринарного лікаря. З початку 1980 р. працював старшим ветеринарним лікарем у лабораторії вивчення туберкульозу Інституту експериментальної і клі­нічної ветеринарної медицини УААН, з 1986 р. — молодшим науковим співробітником, з 1987 по 1999 р. — старшим науковим співробітни­ком, а протягом 1994—2002 рр. — завідувачем лабораторії вивчення ту­беркульозу. У 2003—2008 рр. — заступник директора з наукової роботи, впровадження наукових розробок і маркетингу ІЕКВМ, у 2009 р. — за­відувач відділу вивчення туберкульозу ННЦ «ІЕКВМ».У 1987 р. в Білоруському науково-дослідному інституті експериментальної ветеринарії ім. С. В. Вишеліського (м. Мінськ) захистив кан­дидатську дисертацію на тему: «Атипові мікобактерії у великої рогатої худоби в зоні Лісостепу і Степу Української РСР», а в 1997 р. в Інституті експериментальної і клінічної ветеринарної медицини УААН (м. Хар­ків) захистив докторську дисертацію на тему: «Види мікобактерій, роз­повсюджені в господарствах України та їх епізоотологічне значення».У квітні 1997 р. присуджено науковий ступінь доктора ветеринарних наук, а у лютому 2006 р. присвоєне вчене звання професора за спеціальністю 16.00.03 — ветеринарна мікробіологія та вірусологія.Обрано у 2007 р. членом-кореспондентом УААН зі спеціальності ветеринарна медицина.Наукова діяльність А. І. Завгороднього розпочалась з розробки методів діагностики туберкульозу сільськогосподарських тварин, удосконалення існуючих та розробки нових методів ідентифікації культур мікобактерій, сухих живильних середовищ для культивування та прискореного виділення збудників туберкульозу із патологічного матеріалу, режиму пастеризації молока, виділення протеїногенних туберкуліногенних штамів мікобактерій. Крім цього А.І. Завгородній розробив синтетичні живильні середовища для культивування протеїногенних штамів мікобактерій, удосконалив технологію виготовлення тубер­куліну очищеного (ППД) для ссавців, птиці у стандартному розчині та сухого очищеного алергену із атипових мікобактерій (ААМ), які впроваджено у біологічній промисловості і лабораторіях ветеринарної медицини для діагностики та оздоровлення господарств від туберку­льозу, а також диференціації специфічних від параалергічних реакцій на туберкулін у великої рогатої худоби. Крім того, обґрунтовано та за­стосовано на практиці систему заходів профілактики й оздоровлення тваринництва України від туберкульозу, впровадження якої дало змогу за останні 15 років оздоровити поголів'я великої рогатої худоби від цієї інфекції у 20 областях країни.Наукові розробки використано в інструктивних документах, які затверджені Державним комітетом ветеринарної медицини України та застосовуються практичними лікарями. За період з 1980 по 2010 р. опубліковано 195 наукових праць, у тому числі 1 монографію, 10 методич­них рекомендацій. Має 2 авторських свідоцтва та 32 патенти України. Під керівництвом вченого захищено 6 кандидатських дисертацій.А. І. Завгороднього нагороджено грамотами Національної академії аграрних наук України, Державного комітету ветеринарної медицини України, ННЦ «ІЕКВМ», знаком Пошани Міністерства аграрної полі­тики України. Присвоєно звання заслуженого працівника ветеринар­ної медицини України.